Mengenal Peluang dan Kombinatorika Dasar untuk Soal Ujian

Peluang dan kombinatorika sering jadi topik yang bikin siswa ragu-ragu: kapan harus pakai permutasi, kapan kombinasi, dan bagaimana keduanya berhubungan dengan menghitung peluang. Kuncinya ada di satu pertanyaan sederhana yang sering terlewat sebelum mulai menghitung.

Pertanyaan kunci: apakah urutan penting?

Permutasi dan kombinasi sama-sama menghitung banyaknya cara memilih beberapa objek dari sekumpulan objek — bedanya cuma satu hal: apakah urutan pemilihan diperhitungkan atau tidak.

• Permutasi dipakai kalau urutan penting. Contoh: menyusun 3 orang untuk posisi juara 1, 2, 3 — "A juara 1, B juara 2" berbeda dari "B juara 1, A juara 2".
• Kombinasi dipakai kalau urutan tidak penting. Contoh: memilih 3 orang dari 5 orang untuk masuk tim — tidak peduli siapa dipilih duluan, yang penting himpunan akhirnya sama.

Rumus permutasi dan kombinasi

Permutasi $r$ objek dari $n$ objek berbeda:

$$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

Kombinasi $r$ objek dari $n$ objek berbeda:

$$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Perhatikan kombinasi hanyalah permutasi yang dibagi lagi dengan $r!$ — karena kombinasi tidak peduli urutan, setiap kelompok $r$ objek yang sama dihitung berkali-kali dalam permutasi (sebanyak $r!$ cara menyusun ulang urutannya), sehingga perlu dibagi untuk menghilangkan pengulangan itu.

Menghitung peluang dari kombinatorika

Peluang suatu kejadian dihitung dengan membandingkan banyaknya cara kejadian itu terjadi, dengan banyaknya seluruh kemungkinan kejadian:

$$P(A) = \frac{\text{banyak cara kejadian } A \text{ terjadi}}{\text{banyak seluruh kemungkinan}}$$

Kombinatorika (permutasi/kombinasi) biasanya dipakai untuk menghitung dua angka ini — pembilang dan penyebutnya — sebelum peluangnya bisa dihitung.

Contoh sederhana

Dari 5 kartu bernomor 1–5, dipilih 2 kartu sekaligus (bukan berurutan). Berapa peluang kedua kartu yang terpilih berjumlah genap?

Total cara memilih 2 dari 5 kartu (urutan tidak penting, jadi kombinasi): $C(5,2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$.

Pasangan yang jumlahnya genap: $(1,3), (1,5), (3,5), (2,4)$ — ada 4 pasangan.

$$P(\text{jumlah genap}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

Latihan singkat

Coba tentukan sendiri: untuk menyusun 3 buku berbeda di rak (urutan penting), berapa banyak susunan yang mungkin? Bandingkan dengan: memilih 3 buku dari 5 buku untuk dibawa pulang (urutan tidak penting) — berapa banyak cara? Kedua soal memakai angka yang mirip, tapi jawabannya berbeda karena satu peduli urutan dan satu tidak — latihan ini membantu membiasakan diri mengenali kapan harus pakai permutasi dan kapan kombinasi.